Question

Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения
y"'-y'=0 y(0)=0 y'(0)=2 y"(0)=4

Answer 1

Характеристическое уравнение: $lambda^3 - lambda = 0$
$lambda(lambda^2 -1) = 0 \ lambda_1=0; lambda_2 = -1; lambda_3 = 1$
Фундаментальная система решений: $1; e^x; e^{-x}$
Общее решение: $y=C_1+C_2e^x+C_3e^{-x}$
Используем доп.условия для вычисления $C_i$
y(0) = 0 ⇒ $C_1+C_2+C_3=0$
$y' = C_2e^x-C_3e^{-x}$
y'(0) = 2 ⇒ $C_2-C_3=2$
$y'' = C_2e^x+C_3e^{-x}$
y''(0) = 4 ⇒ $C_2+C_3=4$
Решаем систему уравнений: $begin {cases} C_1+C_2+C_3=0 \ C_2-C_3=2 \ C_2+C_3=4 end {cases}$
$begin {cases} C_1+4=0 \ 2C_2=6 \ C_3=4-C_2 end {cases} textless = textgreater begin {cases} C_1=-4 \ C_2=3 \ C_3=1 end {cases}$
Итак, $y=-4+3e^x+e^{-x}$
Ответ: $y=-4+3e^x+e^{-x}$