Question

найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=2х^3+3х^2+2 на отрезке [-2;0]

Answer 1

Дана функция у=2х³ + 3х² + 2.

Её производная равна:
y' = 6x² + 6x = 6x(x + 1).
Приравняв производную нулю, находим 2 критические точки:
х = 0  и х = -1.
Тем самым мы определили 3 промежутка монотонности функции:
(-∞; -1), (-1; 0) и (0; +∞).

Находим знаки производной на этих промежутках.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =   -2      -1       -0,5        0         1
y' = 12       0        -1,5        0        12.

Как видим, максимум функции в точке х = -1, минимум в точке  х = 0.
Найдём значения функции в этих точках и на границах заданного промежутка.

x =     -2      -1     -0,5     0
y =     -2       3      2,5      2.

Ответ: наибольшее и наименьшее значение функции у=2х^3+3х^2+2 на отрезке [-2;0] равны 3 и -2.