Question

Випадкова ξ величина має показниковий розподіл з параметром α=2 . Знайти Dξ

Answer 1

Показательным называют распределение, которое характеризуется следующей функцией плотности:

$p(x)=displaystyle left { {{~~~~~~~0,~~~ if ~~ x textless 0} atop {lambda e^{-lambda x},~~ if~~ x geq 0}} right.$

Из условия $lambda =2$. Тогда дисперсия случайной величины $xi$ будем искать в виде:


$Dxi=M(xi -Mxi )^2=Mxi^2 -(Mxi)^2$

$Mxi =displaystyle intlimits^{+infty}_0 x p(x)dx=2intlimits^{+infty}_0 xe^{-2x}dx= left{begin{array}{ccc}x=u,~~ dx=du\ dv=e^{-2x}dx,~ v=- frac{e^{-2x}}{2} end{array}right}= \ \ \ =2cdot bigg(- frac{xe^{-2x}}{2}bigg|^{+infty}_0+intlimits^{+infty}_0 frac{e^{-2x}dx}{2} bigg)=-xe^{-2x}bigg|^{+infty}_0- frac{e^{-2x}}{2} bigg|^{+infty}_0=0.5$


$displaystyle Mxi^2= intlimits^{+infty}_0 x^2p(x)dx= 2intlimits^{+infty}_0x^2e^{-2x}dx= left{begin{array}{ccc}x^2=u~~2xdx=du\ e^{-2x}dx=dv,~ v=- frac{e^{-2x}}{2} end{array}right}\ \ =-x^2e^{-2x}bigg|^{+infty}_0+ 2intlimits^{+infty}_0 xe^{-2x}dx=0.5$


искомая дисперсия:  $Dxi=Mxi^2-(Mxi)^2=0$