Question

1)|5x-3|-|7x-4|=2x-1
2)|x+2|-|x-3|=2x-5
3)|2x+8|-|x-5|=12
Объясните пожалуйста эту тему , как это вообще решать?
Не обязательно эти примеры; тему

Answer 1

1)  При решении уравнений с модулями нужно отметить на числовой оси  нули подмодульных выражений и определить их знаки на полученных интервалах.
                      |5x-3|-|7x-4|=2x-1
 5x-3=0  при  х=3/5  ,   а  7x-4=0  при  х=4/7 .
    Правее нуля подмодульного выражения оно положительно, а левее - отрицательно:
   Если x>3/5, то (5х-3)>0 ;  если x<3/5 , то (5х-3)<0 .
   Знаки выражения (5х-3):    - - - - (3/5) + + + + 
   Если  х>4/7 , то (7х-4)>0  ;  если  х<4/7 , то (7х-4)<0 .
  Знаки выражения (7х-4):     - - - - (4/7) + + + + 

  Знаки (5х-3):   - - - - (4/7) - - - - (3/5) + + + +
  Знаки (7х-4):   - - - - (4/7) + + + (3/5) + + + +

Учтём это при раскрытии модулей на промежутках: если выражение под знаком модуля положительно или = 0, то модуль выражения равен самому выражению; если выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль этого выражения равен противоположному выражению:
   $|A, |=left { {{A,; esli; xA geq 0,} atop {-A,; esli; A textless 0.}} right.$
а)  Рассмотрим промежуток  х<4/7 , то есть  х∈(-∞,4/7): 
|5x-3|= -(5x-3)= -5x+3 ;   |7x-4|= -(7x-4)= -7x+4 .
Теперь перепишем заданное уравнение с раскрытием модулей:
  -5x+3-(-7x+4)=2x-1
-5x+3+7x-4=2x-1
-5x+7x-2x=4-3-1
0·x=0  ⇒  0=0  верное равенство  ⇒  для всех переменных х∈(-∞,4/7) уравнение превращается в верное равенство, значит весь интервал включается в ответ.
б) рассмотрим промежуток  4/7≤x<3/5 :  |5x-3|=-(5x-3)= -5x+3 ;
    |7x-4|=7x-4 .
Уравнение примет вид:  -5х+3-(7x-4)=2x-1 ,
  -5x-7x-2x= -1-3-4 ,
-14x=-8  ,  x=8/14  ,  x=4/7 ∈ [4/7 , 3/5) - это значение х тоже включается в                                                                  ответ.
в)  рассмотрим промежуток  х≥3/5  , то есть  х∈ [3/5 , +∞) : 
      |5x-3|=5x-3 ,  |7x-4|=7x-4 .
  5x-3-(7x-4)=2x-1 ,
  5x-7x-2x= 3-4-1 , 
  -4x=-2  ,  x=1/2  ,  но 1/2 < 3/5  ⇒   x=1/2 ∉  [3/5,+∞)  ⇒  это значение переменной не входит в ответ.
Ответ:  х∈(-∞,4/7 ] .

$2); ; |x+2|-|x-3|=2x-5\\x+2=0; ; to ; ; x=-2; ;; ; ; ; x-3=0; ; to ; ; x=3\\znaki; (x+2):; ; ; ---(-2)+++(3)+++\znaki; (x-3):; ; ; ---(-2)---(3)+++\\a); ; x textless -2:\\|x+2|=-(x+2)=-x-2; ,; |x-3|=-(x-3)=-x+3; ;\\-x-2-(-x+3)=2x-5; ,; ; -5=2x-5; ,; ; 2x=0,\\ x=0notin (-infty ,-2)\\b); ; -2 leq x textless 3:\\|x+2|=x+2; ,; ; |x-3|=-(x-3)=-x+3; ;\\x+2-(-x+3)=2x-5; ,; ; 2x-1=2x-5; ,\\-1=-5; ; neverno\\c); ; x geq 3:\\|x+2|=x+2; ,; ; |x-3|=x-3; ,$

$x+2-(x-3)=2x-5; ,; ; 5=2x-5; ,; ; 2x=10; ,\\underline {x=5in [, 3,+infty )}\\Otvet:; ; x=5; .$

3) Пример решён в предыдущем вашем вопросе.