Question

Помогите решить пожалуйста.
Lim 1+2+3+...+n/(n-1)(n+3)+2
N->∞

Answer 1

Рассмотрим последовательность 1+2+...+n. Эта последовательность является арифметической прогрессии с первым членом $a_1=1$ и разностью прогрессии $d=1$. Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n= dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n= dfrac{2cdot 1+1cdot (n-1) }{2}cdot n= dfrac{n^2+n}{2}$


Найдем теперь предел:

      $displaystyle lim_{n to infty} frac{dfrac{n^2+n}{2} }{(n-1)(n+3)+2} = frac{1}{2} lim_{n to infty} frac{1+ frac{1}{n} }{(1-frac{1}{n})(1+frac{3}{n})+frac{2}{n^2}} = frac{1}{2} cdot 1=frac{1}{2}$