Question

$frac{ | x - 3| }{x {}^{2} - 5x + 6 } geqslant 2$
решите пожалуйста

Answer 1

$frac{|x - 3|}{(x - 3)(x - 2)} geq 2$
Разложили знаменатель по формуле ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2), где x1, x2 – корни уравнения. x ≠ 3, x ≠ 2 – знаменатель не равен нулю. 
если x > 3: 
$frac{x - 3}{(x - 3)(x - 2)} geq 2$
$frac{1}{x - 2} geq 2$
$frac{-2x + 4 + 1}{x - 2} geq 0$
$frac{-2x + 5}{x - 2} geq 0$
Решим методом интервалов. Нуль числителя: x = 2.5, знаменателя – x = 2. 
------  (-)  ------ 2 ------  (+)  ------ 2.5 ------  (-)  ------> x
(Числовая прямая, где указаны нули и знаки на промежутках, x = 2 – выколотая точка). Мы ищем, когда выражение неотрицательно, значит, нам подходит x ∈ (2; 2.5]. 
Вспомним, что ставили условие x > 3. Решений нет. 

Если x < 3: 
$frac{-1}{x - 2} geq 2$
$frac{-2x + 3}{x - 2} geq 0$
Аналогично: ищем нули, отмечаем на числовой прямой, причем x = 2 – выколотая точка, берем нужные промежутки: 
------  (-)  ------ 1.5 ------  (+)  ------ 2 ------  (-)  ------> x
x ∈ [1.5; 2) 
Вспоминаем, что x < 3. Подходит. Это и есть ответ. 

Ответ: x ∈ [1.5; 2).