Question

Помогите пожалуйста, надо найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

Answer 1

$1); ; (1+x)y, dx+(1-y)x, dy=0\\int frac{(1+x), dx}{x}=-int frac{(1-y), dy}{y}\\int (frac{1}{x}+1)dx=-int (frac{1}{y}-1)dy\\ln|x|+x=-ln|y|+y+C\\y(1)=1:; ; ln1+1=-ln1+1+C; ,; ; C=0\\underline {ln|x|+x=y-ln|y|}\\2); ; y^2, dx=e^{x}, dy\\int frac{dx}{e^{x}}=int frac{dy}{y^2}\\-e^{-x}=-y^{-1}-C\\-frac{1}{e^{x}}=-frac{1}{y}-C; ,; ; frac{1}{e^{x}}=frac{1}{y}+C\\y(0)=1:; ; frac{1}{e^0}=frac{1}{1}+C; ,; ; 1=1+C; ,; ; C=0\\frac{1}{e^{x}}=frac{1}{y}\\underline {y=e^{x}}$

$3); ; frac{dx}{cos^2x, cosy}=ctgxcdot sinycdot dy\\frac{dx}{cos^2xcdot ctgx}=cosycdot sinycdot dy\\int frac{tgxcdot dx}{cos^2x}=int frac{sin2y}{2}, dy\\ frac{tg^2x}{2}=-frac{1}{4}cdot cos2y+C\\y(frac{pi }{3})=pi :; ; frac{1}{2}cdot tg^2frac{pi}{3}=-frac{1}{4}cdot cosfrac{2pi }{3}+C\\frac{1}{2}cdot (sqrt3)^2=-frac{1}{4}cdot (-frac{1}{2})+C\\frac{3}{2}=frac{1}{8}cdot C; ,; ; C=12\\frac{tg^2x}{2}=-frac{1}{4}cdot cos2y+12; ; |cdot 4\\underline {2, tg^2x=-cos2y+48}$