Question

при каких значениях параметра p отношение корней уравнения x^2 +2px+1=0 равно 9?

Answer 1

Пусть, первый корень равен $x_1$ , тогда второй корень равен:
$x_2=x_1cdot 9=9x_1$

Так как :
$frac{x_2}{x_1}=9$


По теореме Виета, любое квадратное уравнение, можно представить с помощью его корней:
$a(x-x_1)(x-x_2)$

В нашем случае a=1. 

Следовательно, имеем следующее уравнение:
$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2=x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2$

Так как:
$x_2=9x_1$

Следовательно:
$x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2=x^2-10x_1x+9x_1^2$

Таким образом:
$x^2-10x_1x+9x_1^2=x^2 +2px+1$

$-10x_1x=2px \-5x_1=p$

$9x_1^2=1 \x_1^2= frac{1}{9} \x_{1_{1,2}}= pmsqrt{ frac{1}{9} } =pm frac{1}{3}$

Следовательно, p равен:
$p_1=-5 cdot frac{1}{3} =-1 frac{2}{3} \p_2=-5cdot (- frac{1}{3} )=1 frac{2}{3}$