Question

Три числа являются арифметической прогрессией.Если второе и третье уменьшить на 1,а первое оставить без изменения,то полученные числа будут составлять геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Найдите эти числа.
Заранее спасибо!

Answer 1

Пусть x; y; z - данная арифм. прогрессия. Тогда по условию х; у-1; z-1 - геомет. прогрессия со знаменателем 2. Исходя из свойств прогрессий получим соотношения:
а) для арифм. прогрессии: $y= frac{x+z}{2}$
б) для геом. прогресии: $frac{y-1}{x} =2 u (y-1)^2=x(z-1)$
Получим систему уравнений:
$begin {cases} y=frac{x+z}{2} \ frac{y-1}{x} =2 \ (y-1)^2=x(z-1) end {cases} Rightarrow begin {cases} x+z=2y \ y=2x+1 \ (y-1)^2=x(z-1) \ x neq 0 end {cases} Rightarrow \ begin {cases} z=3x+2 \ y=2x+1 \ (2x+1-1)^2=x(3x+2-1) \ x neq 0 end {cases} Rightarrow begin {cases} x neq 0 \ z=3x+2 \ y=2x+1 \ 4x^2=3x^2+x end {cases} Rightarrow$
$begin {cases} x neq 0 \ z=3x+2 \ y=2x+1 \ x^2-x=0 end {cases} Rightarrow begin {cases} x neq 0 \ left[ begin{matrix} x=0\ x=1 end{matrix}right \ z=3x+2 \ y=2x+1 end {cases} Rightarrow begin {cases} x =1 \ y=3 \ z=5 end {cases}$
Итак, данная арифметическая прогрессия есть 1; 3; 5.
Ответ: 1; 3; 5.