Question

Интегралы помогите под 27 номером

Answer 1

$1); ; int 2sin^2 frac{x}{2}, dx=2intfrac{1-cosx}{2}, dx=int (1-cosx)dx=x-sinx+C\\2); ; int frac{dx}{sin^3x}=int frac{dx}{(2, sinfrac{x}{2}cdot cosfrac{x}{x})^3}=frac{1}{8}intfrac{dx}{frac{sin^3frac{x}{2}cdot cos^3frac{x}{2}}{cos^6frac{x}{2}}cdot cos^6frac{x}{2}}=\\=frac{1}{8}int frac{1}{tg^3frac{x}{2}}cdot frac{1}{cos^2frac{x}{2}}cdot frac{1}{cos^2frac{x}{2}}cdot frac{dx}{cos^2frac{x}{2}}=[, 1+tg^2 alpha =frac{1}{cos^2 alpha }, ]=\\=[, t=tgfrac{x}{2}; ,; d(tgfrac{x}{2})=frac{dx}{2cos^2frac{x}{2}}, ]=frac{2}{8}int , frac{1}{t^{3}}cdot (1+t^2)^2cdot dt=$

$=frac{1}{4}int frac{1+2t^2+t^4}{t^3}, dt=frac{1}{4}int (t^{-3}+frac{2}{t} +t)dt=\\=frac{1}{4}cdot (frac{t^{-2}}{-2}+2, ln|t|+frac{t^2}{2})+C=frac{1}{4}cdot (-frac{1}{2t^2}+2, ln|t|+frac{t^2}{2})+C=\\=-frac{1}{8tg^2frac{x}{2}}+frac{1}{2}cdot ln|tg frac{x}{2}|+frac{1}{8}cdot tg^2frac{x}{2}+C$

$3); ; int frac{e^{z}sqrt{arctge^{z}}}{1+e^{2z}}, dz=[, t=e^{z},; z=lnt; ,; dz=frac{dt}{t}, ]=\\=int frac{tcdot sqrt{atctgt}}{1+t^2}cdot frac{dt}{t}=int frac{sqrt{arctgt}}{1+t^2}cdot dt=[, d(arctgt)=frac{dt}{1+t^2}, ]=\\=int sqrt{arctgt}cdot d(arctgt)=frac{(arctgt)^{3/2}}{3/2}+C=frac{2}{3}cdot sqrt{arctg^3t}+C=\\=frac{2}{3}cdot sqrt{arctg^3e^{z}}+C$