Question

Решить однородное уравнение:
dy/y=(x-y)dx/x^2

Answer 1

$frac{dy}{y}=frac{(x-y), dx}{x^2}\\frac{dy}{dx}=frac{y, (x-y)}{x^2}; ; Rightarrow quad y'=frac{yx}{x^2}-frac{y^2}{x^2}; ,; ; y'=frac{y}{x}-(frac{y}{x})^2\\t=frac{y}{x}; ,; ; y=tx; ,; ; y'=t'x+tx'=t'x+t; ; (x'=1)\\t'x+t=t-t^2\\t'x=-t^2; ,; ; t'=-frac{t^2}{x}; ,; ; int frac{dt}{t^2}=-int frac{dx}{x}; ,\\int frac{dt}{t^2}=int t^{-2}, dt=frac{t^{-1}}{-1}+C_1=-frac{1}{t}+C_1\\-frac{1}{t}=-ln|x|-C\\frac{x}{y}=ln|x|+C\\y=frac{x}{ln|x|+C}$