Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения


$xy' = frac{3y^{3}+6yx^{2}}{2y^{2}+ 3x^{2}}$

Answer 1

$xy'=frac{3y^3+6yx^2}{2y^2+3x^2}\\y'=frac{3y^3+6yx^2}{2xy^2+3x^3}; Big |frac{:x^3}{:x^3}\\y'= frac{3cdot (frac{y}{x})^3+6cdot frac{y}{x}}{2cdot (frac{y}{x})^2+3}\\t=frac{y}{x}; ,; ; y=tx; ,; ; y'=t'x+tx'=t'x+t\\t'x+t=frac{3t^3+6t}{2t^2+3}; ,; ; t'x=frac{3t^3+6t}{2t^2+3}-t; ,; ; t'x=frac{3t^3+6t-2t^3-3t}{2t^2+3}; ,\\t'x=frac{t^3+3t}{2t^2+3}; ,; ; t'=frac{dt}{dx}=frac{t^3+3t}{x(2t^2+3)}; ,\\int frac{(2t^2+3), dt}{t^3+3t}=int frac{dx}{x}; ,$

$int frac{(2t^2+3), dt}{tcdot (t^2+3)}=int frac{dt}{t}+int frac{t, dt}{t^2+3}=ln|t|+frac{1}{2}int frac{d(t^2+3)}{t^2+3}=$

$=ln|t|+frac{1}{2}cdot ln|t^2+3|+lnC=ln|frac{y}{x}|+lnsqrt{frac{y^2}{x^2}+3}+lnC; ;\\\ln|frac{y}{x}|+lnsqrt{frac{y^2}{x^2}+3}+lnC=ln|x|\\frac{Cy}{x}cdot sqrt {frac{y^2}{x^2}+3}=x; ; ; ; obshij; integral$

$star ; ; frac{2t^2+3}{t, (t^2+3)}=frac{A}{t}+frac{Bt+C}{t^2+3}=frac{A(t^2+3)+tcdot (Bt+C)}{t, (t^2+3)}\\2t^2+3=A(t^2+3)+tcdot (Bt+C)\\t=0:; ; A=frac{3}{3}=1; ,\\2t^2+3=At^2+3A+Bt^2+Ct\\t^2; |; 2=A+B; ,; ; B=2-A=2-1=1\\t; ; |; 0=C$