Question

1) Докажите по индукции что :
$frac{1}{2} times frac{3}{4} times frac{5}{6} times .... frac{(2n - 1)}{2n} < frac{2n}{(2n + 1)}$
2) Докажите что для любых действительных чисел a, b справедливо неравенство :
$({a}^{2} - {b}^{2} ) ^{2} geqslant 4ab(a - b)^{2}$

Answer 1

если а-в=0 то получаем 0=0 что верно. Если а не равно в ,то (а-в) либо положительна либо отриц2ательна,но в квадрате ВСЕГДА положительна.слева получаем (а-в)²(а+в)²≥4ав(а-в)²  перенесем все  в левую часть и вынесем за скобки.   (а-в)²(а+в)²-4ав(а-в)²  ≥0
(а-в)²((а+в)²-4ав) ≥0 ,  (а-в)²(а²+2ав+в²-4ав) ≥0,(а-в)²(а²-2ав+в²) ≥0
(а-в)²(а-в)² ≥0, если а=в  ,то 0=0 ,если а не равно в , то в квадрате получится положительное число,которое всегда больше нуля!

Answer 2

У меня получилось она неверна, и не поняла почему убралось 2k из правой части после сокращения на 2k +1, объясните пожалуйста, если есть время

Answer 3

если мы подставим в правую часть вместо к к+1 ,то правая формула получится 2к+2/(2к+3) в левой части получается 2к , что заведомо меньше 2к+2

Answer 4

спасибо, я примерно поняла, еще у нас преподаватели требуют расписать предположении индукции, включая многоточие, и писать какие именно преобразования происходят, спасибо еще раз, извините за беспокойство :)

Answer 5

ничего страшного. главное разберись.

Answer 6

первый раз неравенство разбираю, спс.