Question

dx/dt=8x-3y
dy/dt=2x+y
Помогите решить систему диф уравнения пожалуйста

Answer 1

Например, из второго уравнения выражаем х

$x = frac{1}{2} frac{dy}{dt} - frac{y}{2}$
Берем производную:

$frac{dx}{dt} = frac{1}{2} frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - frac{1}{2} frac{dy}{dt}$
Подставляем в первое:

$frac{1}{2} frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - frac{1}{2} frac{dy}{dt} = 8( frac{1}{2} frac{dy}{dt} - frac{y}{2} ) - 3y \ \ frac{1}{2} frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - frac{1}{2} frac{dy}{dt} = 4frac{dy}{dt} - 4y - 3y$
Домнодим обе части на 2:

$frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - frac{dy}{dt} = 8frac{dy}{dt} - 14y \ \ frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - 9frac{dy}{dt} + 14y = 0 \ \ {k}^{2} - 9k + 14 = 0 \ \ k = 7 \ k = 2 \ y = c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t}$
$x = frac{1}{2} frac{dy}{dt} - frac{y}{2} = frac{1}{2} frac{d (c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} )}{dt} - frac{1}{2} (c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} ) = \ \ = frac{1}{2} (2c_1 {e}^{2t} + 7c_2 {e}^{7t} ) - frac{1}{2} (c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} ) = \ \ = c_1 {e}^{2t} + 3.5c_2 {e}^{7t} - 0.5c_1 {e}^{2t} - 0.5c_2 {e}^{7t} = \ \ = 0.5c_1 {e}^{2t} + 3c_2{e}^{7t}$
Ответ:
$y = c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} \ x = 0.5c_1 {e}^{2t} + 3c_2{e}^{7t}$