Question

Вычислить площадь поверхности образованной вращением дуги параболы у^2=4х вокруг оси Ох, ограниченной точками О (0;0) и А (3; 2√3).

Answer 1

$y^2=4x; ; Rightarrow ; ; y=pm 2sqrt{x}\\y=2sqrt{x}; ; to ; ; y'=2cdot frac{1}{2sqrt{x}}=frac{1}{sqrt{x}}\\S=pi intlimits^{b}_{a}, ycdot sqrt{1+(y')^2}dx=pi intlimits^3_0, 2sqrt{x}cdot sqrt{1+frac{1}{x}}dx=\\=pi intlimits^3_0, 2sqrt{x}cdot sqrt{ frac{1+x}{x}}, dx=2pi intlimits^3_0, sqrt{x}cdot frac{sqrt{1+x}}{sqrt{x}}, dx=\\=2pi intlimits^3_0, sqrt{1+x}, dx=2pi cdot frac{(1+x)^{3/2}}{3/2}Big |_0^3=frac{4pi }{3}cdot sqrt{(1+x)^3}Big |_0^3$

$= frac{4pi }{3}cdot (sqrt{4^3}-1)= frac{4pi }{3}cdot (8-1)=frac{28pi }{3}$