Question

Помогите пожалуйста! Напишите разложение вектора х по векторам p q r,если х=(0,-2,1),р=(3,-4,2),q=(6,-1,5),r=(-3,-2,-6)

Answer 1

$vec{x}= alpha vec{p}+ beta vec{q}+gamma vec{r}$
Где α,β и γ - некоторые коэффициенты в новом базике. Их и нужно найти.
Для этого перепишем верхнее уравнение в координатной форме:

$(0,-2,1)= alpha (3,-4,2)+ beta (6,-1,5)+gamma (-3,-2,-6) \ \ (0,-2,1)= (3alpha ,-4alpha ,2alpha )+ (6beta,-beta,5beta)+ (-3gamma,-2gamma,-6gamma) \ \ left{begin{matrix} 3 alpha +6 beta -3gamma=0 \-4 alpha - beta -2 gamma=-2 \ 2 alpha +5 beta -6gamma=1 end{matrix}right.$

Решим методом Гаусса:

$begin{pmatrix} 3 &6 &-3 &0 \ -4&-1 &-2 &-2 \ 2& 5 &-6 &1 end{pmatrix} sim begin{pmatrix} 1 &1 &3 &-1 \ -4&-1 &-2 &-2 \ 2& 5 &-6 &1 end{pmatrix} sim \ \ \ simbegin{pmatrix} 1 &1 &3 &-1 \ 0&3 &10 &-6 \ 0& 3 &-12 &3 end{pmatrix} simbegin{pmatrix} 1 &1 &3 &-1 \ 0&3 &10 &-6 \ 0& 0 &-22 &9 end{pmatrix}$

$left{begin{matrix} alpha + beta +3gamma=-1\ 3 beta +10gamma=-6 \ -22gamma=9 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} alpha =-1- beta -3gamma\ beta= frac{-6-10gamma}{3} \gamma=- frac{9}{22} end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} alpha =-1- beta + frac{27}{22} \ beta= frac{-6+ frac{90}{22} }{3} \gamma=- frac{9}{22} end{matrix}right.$
$Leftrightarrow left{begin{matrix} alpha =-1+frac{7 }{11} + frac{27}{22} \ \ beta= -frac{7 }{11} \ \gamma=- frac{9}{22} end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} alpha = frac{19}{22} \ \ beta= -frac{7 }{11} \ \ gamma=- frac{9}{22} end{matrix}right. \ \ \ OTBET: vec{x}= frac{19}{22}vec{p} -frac{7 }{11} vec{q}- frac{9}{22} vec{r}$