Question

Найдите интеграл методом замены переменной(дробно-линейная подстановка)
∫(x+1)dx/(x√х+3)

Answer 1

$intlimits { frac{x+1}{x sqrt{x+3} } } , dx= begin{vmatrix} sqrt{x+3}=t\x=t^2 -3 \ dx=2tdt end{vmatrix}= intlimits{ frac{t^2-2}{(t^2-3)t} } , 2tdt =2 intlimits{ frac{t^2-2}{t^2-3} } , dt = \ \ =2 intlimits{ frac{t^2-3+1}{t^2-3} } , dt =2 intlimits{(1+ frac{1}{t^2-3} )} , dt =2(t+ frac{1}{2 sqrt{3}}ln| frac{t- sqrt{3} }{t+ sqrt{3} } |)+C= \ \ =|t= sqrt{x+3} |=2( sqrt{x+3} +frac{1}{2 sqrt{3}}ln| frac{sqrt{x+3}- sqrt{3} }{sqrt{x+3}+ sqrt{3} } |)+C=$

$=2 sqrt{x+3} +frac{1}{ sqrt{3}}ln| frac{sqrt{x+3}- sqrt{3} }{sqrt{x+3}+ sqrt{3} } |+C$