Question

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 3:2, считая от вершины, и боковая сторона равна 6.

Answer 1

По условию

$frac{AO}{OH}= frac{3}{2}$
AB=6;

OK - радиус. K - точка касания, поэтому ∠OKA прямой.
Рассмотрим ΔABH и ΔOAK; У них угол OAK общий и они прямоугольные. Следовательно, они подобны. Пусть AO = 3x; OH = 2x; Из подобия имеем: $frac{AO}{AB} = frac{OK}{HB}$; OK = OH как радиусы.
$frac{3x}{6}= frac{2x}{HB}$ Откуда $HB = 4$
Значит CB = 8; Теперь можем найти площадь S: 
$S= frac{1}{2}CB*AH = frac{1}{2}CB sqrt{AB^{2}-HB^{2} } = frac{1}{2}*8* sqrt{20} =8 sqrt{5}$