Question

Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды равна 48, а периметр основания 12. Вычислить апофему, площадь полной поверхности пирамиды и объём.

Answer 1

Дано: площадь S боковой грани правильной треугольной пирамиды равна 48, а периметр основания P = 12.

Находим сторону основания а = Р/3 = 12/3 = 4.
Теперь можно найти апофему А = 2S/a = 2*48/4 = 24.
Площадь основания So = a²√3/4 = 4²√3/4 = 4√3 кв.ед.
Площадь полной поверхности пирамиды равна:
Sпп = So + Sбок = 4√3 + 3*48 = 4√3 + 144 кв.ед.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH.
Находим высоту пирамиды.
Определяем высоту h основания: h = a*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3.
Высота пирамиды равна: 
Н = √(А² - (h/3)³) = √(24² - (2√3/3)²) =√(576 - (12/9)) = √(1724/3) =
= √574,667 ≈ 23,9722.
Тогда V = (1/3)*(4√3)*(√(1724/3)) = (4/3)√1724 ≈  55,3614 куб.ед.

Answer 2

Величина h/3 это проекция апофемы на основание.