Question

решите уравнение -2sinx=-√3. cos2x-sinx=0

Answer 1

1.-2sin (x)=-$sqrt{3}$
Разделить обе стороны уравнения на -2:
sin (x)=$frac{sqrt{3}}{2}$;
Поскольку sin (t)=sin(π-t),уравнение имеет 2 решения:
sin (x)=$frac{sqrt{3}}{2}$
sin (π-x)=$frac{sqrt{3}}{2}$;
Чтобы изолировать x/π-x,нужно использовать обратную тригонометрическую функцию:
x=arcsin ($frac{sqrt{3}}{2}$)
x=arcsin ($frac{sqrt{3}}{2}$);
Используя таблицу значений тригонометрических функций или единичную окружность,найдём значение arcsin($frac{sqrt{3}}{2}$):
x=$frac{pi}{3}$
π-x=$frac{pi}{3}$;
Поскольку sin (x/π-x) является периодической функцией,нужно добавить период 2kπ,k∈Z для нахождения всех решений:
x=$frac{pi}{3}$+2kπ,k∈Z
π-x=$frac{pi}{3}$+2kπ,k∈Z;
Решить уравнение относительно x:
x=$frac{pi}{3}$+2kπ,k∈Z      остаётся
x=$frac{2pi}{3}$-2kπ,k∈Z;
Т.к. k∈Z,то -2kπ=2kπ:
x=$frac{2pi}{3}$+2kπ,k∈Z
x=$frac{2pi}{3}$+2kπ,k∈Z;
Окончательное решение:
x=$left { {{frac{pi}{3}+2kpi} atop {frac{2pi}{3}}+2kpi} right.$, k∈Z.
2.cos (2x)-sin (x)=0
Используя cos (2t)=1-2sin (t²),записать выражение в развёрнутом виде:
1-2sin (x)²-sin (x)=0;
Решить уравнение используя подстановку t=sin (x):
1-2t²-t=0;
Решить уравнение относительно t:
t=$frac{1}{2}$
t=-1;
Сделать обратную подстановку t=sin (x):
sin (x)=$frac{1}{2}$
sin (x)=-1;
Решить уравнение относительно x:
x=$frac{pi}{6} +2kpi$, k∈Z,
x=$frac{5pi}{6} +2kpi$, k∈Z
x=$frac{3pi}{2} +2kpi$, k∈Z;
Найти объединение:
x=$frac{pi}{6}+frac{2kpi}{3}$, k∈Z