Question

Найти общий интеграл однородного ДУ первого порядка

x²y'=2xy-y²

Answer 1

Пусть $y=ux$, тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций $y'=u'x+u$. В результате получим

$x^2(u'x+u)=2x^2u-u^2x^2\ \ u'x+u=2u-u^2\ \ u'x=u-u^2$ уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle frac{du}{dx} = frac{u-u^2}{x} ~~~Rightarrow~~ frac{du}{u-u^2} = frac{dx}{x}~~~Rightarrow~~ frac{du}{0.25-(u-0.5)^2}= frac{dx}{x} \ \ \ int frac{du}{0.5^2-(u-0.5)^2}=int frac{dx}{x} ~~~Rightarrow~~~lnbigg| frac{u}{1-u} bigg|=ln|x|+ln C\ \ frac{u}{1-u}=Cx$

Получили общий интеграл уравнения относительно u.

Возвращаемся к обратной замене: $u= frac{y}{x}$, получим

$dfrac{ frac{y}{x} }{1- frac{y}{x} }=Cx~~~Rightarrow~~~ dfrac{y}{x-y} =Cx$ 

Получили общий интеграл............

Answer 2

где А=1 В=1

Answer 3

http://prntscr.com/jwn0x3

Answer 4

Можно и методом неопределенных коэффициентов. Я предпочитаю табличных интегралов

Answer 5

Высокий логарифм как раз относится

Answer 6

ну, кто как привык, ок.