Question

x^3 + x + 1 = 0
(Икс в кубе плюс икс плюс один равно нулю)

Answer 1

Будем сводить это уравнение к уравнению второй степени. Для этого нужно найти замену. Пусть вместо x подставлено выражение A-B; 
Тогда имеем: $(A-B)^{3}+(A-B)+1=0 Leftrightarrow A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}+A-B+1=0$
Постараемся убрать произведения с тройками. Для этого нужно, чтобы
$3A^{2}B=A Leftrightarrow 3AB=1 Leftrightarrow AB= frac{1}{3}$;
Пусть тогда $A-B=m- frac{1}{3m}=x$
Подставим в уравнение: 
$(m- frac{1}{3m})^{3}+m- frac{1}{3m}+1=0 Leftrightarrow m^{3}-m+ frac{1}{3m}- frac{1}{27m^{3}}+m- frac{1}{3m}+1=0$
И после упрощения: $m^{3}- frac{1}{27m^{3}}+1=0 Leftrightarrow frac{27m^{6}+27m^{3}-1}{27m^{3}}=0$ Считаем, что A-B≠0; Сделаем еще одну замену: $m^{3}=u$; С учетом этого перепишем:
$27u^{2}+27u-1=0$; Корни этого уравнения: $u_{1,2}= frac{-9б sqrt{93} }{18}$;
Отсюда $m_{1,2}= sqrt[3]{frac{-9б sqrt{93} }{18}}$
$x_{1,2}=sqrt[3]{frac{-9б sqrt{93} }{18}} - frac{1}{3sqrt[3]{frac{-9б sqrt{93} }{18}}}$; При этом подстановкой убеждаемся, что подходит лишь корень
$x=sqrt[3]{frac{-9- sqrt{93} }{18}} - frac{1}{3sqrt[3]{frac{-9- sqrt{93} }{18}}} approx -0,68995$