Question

Точка Р делит сторону АС треугольника АВС В отношении АР: РС = 5: 1, Точка S делит сторону АВ В отношении AS : SB = 4:3, Точка D отложена на продолжении стороны ВС, причем BD: BC 2:3 Прямая PS пересекает отрезок AD В Точке К. Найдите AK:KD u PS: SK.

Answer 1

Пусть прямая KP пересекается с прямой BC в точке F (не влезло в рисунок);
Тогда по теореме Менелая имеем: 
$frac{3y}{4y}times frac{5x}{x}times frac{CF}{CF+BC}=1 Leftrightarrow frac{CB}{FC}= frac{11}{4}$
Отсюда же устанавливаем, что $FC= frac{12m}{11}$;
Рассмотрим треугольник ACD; В нем по теореме Менелая:
$frac{KD}{AK}times frac{5x}{x} times frac{ frac{12m}{11} }{ frac{67m}{11} }=1 Leftrightarrow frac{KD}{AK}= frac{67}{60}$
Применим теорему Менелая еще раз: 
(PF = t)
$frac{2m}{ frac{45m}{11} }times frac{PS+t}{SK}times frac{60}{127}=1 Leftrightarrow frac{PS+t}{SK}= frac{127*45}{60*22}= frac{127*3}{4*22}=[tex] frac{381}{88}$ [/tex] (1)
С другой стороны,
$frac{5m}{ frac{12m}{11} }times frac{t}{PS+SK}times frac{60}{127}=1 Leftrightarrow frac{PS+SK}{t}= frac{275}{127}$
$t= frac{127}{275}(PS+SK)$; Подставим это в равенство (1):
$275PS+127PS+127SK= frac{275*381SK}{88} Leftrightarrow 402PS= frac{8509}{8}SK$; Отсюда находим $frac{PS}{SK}= frac{127}{48}$

Answer 2

РS к SK где?

Answer 3

не заметил. сейчас добавлю

Answer 4

Спасибо большое!