Question

Найдите первый член геометрической прогрессии, если третий член равен –10, а его квадрат в сумме с седьмым членом дает утроенный пятый член

Answer 1

Пусть знаменатель прогрессии равен q; n-ый член равен $b_{n}$
$b_{1}q^{2}=b_{3}=-10$
По условию $100+b_{1}q^{6}=3b_{1}q^{4}= frac{300}{b_{1}} Leftrightarrow 100b_{1}+b_{1}^{2}q^{6}=300$ (1)

При этом 
$(b_{1}q^{2})^{3}=b_{1}^{3}q^{6}=(-10)^{3}=-1000 Leftrightarrow b_{1}^{2}q^{6}= frac{-1000}{b_{1}}$

Подставим это в (1): 
$100b_{1}-frac{1000}{b_{1}} =300 Leftrightarrow b_{1}=-2;b_{1}=5$
Но третий член отрицательный. Значит и первый член отрицателен. Следовательно $b_{1}=-2$