Question

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM, BL, CK. Найдите отношение площадей треугольников KLM и ABC, если AB=2 AC=4 BC=5

Answer 1

По теореме косинусов найдем косинус угла A:
$cos A = frac{25-4-16}{-16}= -frac{5}{16}$; Тогда синус этого угла равен $frac{sqrt{231}}{16}$;
Угол B: $cos B = frac{16-4-25}{-20}= frac{13}{20}$; Синус этого угла:
$frac{sqrt{231}}{20}$
Угол C: $cos C = frac{4-25-16}{-40}= frac{37}{40}$; Синус этого угла:
$frac{ sqrt{231} }{40}$;
Теперь найдем по порядку площади трех треугольников KBM, MLC, AKL:
Но прежде, по свойству биссектрис определим, что AK=8/9, BK = 10/9, BM = 5/3, MC = 10/3, LC = 20/7, AL = 8/7;
Треугольник AKL: $S= frac{1}{2}times frac{8}{9}times frac{8}{7}times frac{sqrt{231}}{16}= frac{2 sqrt{231}}{63}$
Треугольник MLC: $S=frac{1}{2}times frac{20}{7}times frac{10}{3}times frac{ sqrt{231} }{40}= frac{5 sqrt{231}}{42}$
Треугольник MBK: $S=frac{1}{2}times frac{5}{3}times frac{10}{9}times frac{sqrt{231}}{20} = frac{5 sqrt{231}}{108}$
Если из площади треугольника ABC вычесть сумму трех найденных площадей, то мы найдем площадь треугольника MKL; Пусть сумма трех площадей равна N; Тогда: $frac{S_{abc}-N}{S_{abc}}=1- frac{N}{S_{abc}}$ - полученный результат и есть искомое соотношение. Найдем $S_{abc}$: по формуле Герона получаем $S_{abc}= frac{sqrt{231}}{4}$; $N= frac{149 sqrt{231}}{756}$; Итак, искомое отношение равно: $frac{S_{kml}}{S_{abc}}=1- frac{frac{149 sqrt{231}}{756}}{frac{sqrt{231}}{4}} =1- frac{149}{189}= frac{40}{89}$

Answer 2

решение вроде правильное и трудоемкое- спасибо его автору)

Answer 3

не думаю, что существует более простое, не вылезая при этом за рамки школьных знаний)

Answer 4

да и это то не все могут найти, просто для школы это слишком трудоемкая задача-другое дело если она из олимпиады или еще чего подобного...