Question

В треугольнике ABC со сторонами AB=6; BC=7;CA=8. Точки A1 и C1 - основания высот, опущенных из вершин A и C соответственно; H - точка пересечения этих высот. Найдите длины диагоналей четырехугольника A1HC1B. Помогите пожалуйста, очень срочно!!!!

Answer 1

Рассмотрим угол ABA₁; С одной стороны $cos angle ABA_{1} = frac{BA_{1}}{AB}$; С другой $cos angle ABA_{1}= frac{C_{1}B}{BC}$; Получаем $frac{C_{1}B}{BC}=frac{BA_{1}}{AB}$, Значит треугольники C₁BA₁ и ABC подобны по общему углу ABA₁ и двум пропорциональным сторонам, причем коэффициент подобия равен косинусу общего угла. Найдем косинус угла по теореме косинусов.
$6^{2}+7^{2}-2times 6times 7 times cos angle ABA_{1} = 64 Leftrightarrow cos angle ABA_{1} = 0,25$; Поэтому $frac{A_{1}C_{1}}{AC}= cos angle ABA_{1} = 0,25 Leftrightarrow A_{1}C_{1}=ACcos angle ABA_{1}=8 times0,25=2$; Отсюда $BC_{1}=frac{7}{4}$; $C_{1}C^{2}=49- frac{49}{16}$; $C_{1}A=sqrt{64-49+frac{49}{16}}= frac{17}{4}$; Треугольники C₁AH и A₁HC подобны по двум углам. $frac{C_{1}A}{A_{1}C}= frac{AH}{HA_{1}}= frac{17}{22}$; При этом $AA_{1}= frac{3sqrt{15}}{2}$; Значит $HA_{1}= frac{3sqrt{15}}{2}div(1+ frac{17}{22})= frac{11sqrt{15}}{2}$, откуда $BH= sqrt{ frac{9}{4}+ (frac{11sqrt{15}}{2})^{2}}=2sqrt{114}$