Question

Помогите найти сумму ряда

Answer 1

Выпишем частичную сумму ряда:
$displaystylesum_{n=2}^Nfrac1{(5n-2)(5n+3)}=sum_{n=2}^Nfrac 15left(frac1{5n-2}-frac 1{5n+3}right)=\=frac15left(frac 18-frac1{13}+frac1{13}-frac1{18}+frac1{18}-frac1{23}+dots+frac1{5N-2}-frac1{5N+3}right)$

Получилась так называемая телескопическая сумма: все слагаемые, кроме первого и последнего, сокращаются. Остаётся
$displaystylesum_{n=2}^Nfrac1{(5n-2)(5n+3)}=frac15left(frac 18-frac1{5N+3}right)$

Тогда
$displaystylesum_{n=2}^inftyfrac1{(5n-2)(5n+3)}=lim_{Ntoinfty}sum_{n=2}^Nfrac1{(5n-2)(5n+3)}=frac15left(frac 18-0right)=frac1{40}$