Question

Решить задачу Коши. 2yy''=(y')^2, y(1)=0, y'(1)=1

Answer 1

Это уравнение вида $y''=f(y;y')$. Для решения такого уравнения нужно вводить новую замену $y'=p(y)$, тогда $y''=p'p$

$2yp'p=p^2\ 2yp'=p$

Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle frac{dp}{dy} =frac{p}{2y} ~~~Rightarrow~~ intfrac{dp}{p} =frac{1}{2}int frac{dy}{y} ~~Rightarrow~~ ln|p|=lnsqrt{y} +ln C_1\ \ p=C_1sqrt{y}$

Сделав обратную замену: $y'=C_1sqrt{y}$

$displaystyle int frac{dy}{C_1sqrt{y}} =int dx~~Rightarrow~~~ frac{2sqrt{y}}{C_1} =x+C_2$

Получили общий интеграл. Теперь нужно найти частное решение, подставив начальные условия: y(1)=0 и y'(1)=1.

$displaystyle left { {{frac{2sqrt{0}}{C_1}=1+C_2} atop {1=C_1cdot sqrt{1}}} right. ~~~Rightarrow~~~left { {{0=1+C_2} atop {C_1=1}} right. ~~~Rightarrow~~~ C_1=1;~C_2=-1$

$2sqrt{y} =x-1$ - ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.