Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Answer 1

Ряд сходится условно, т.к. все условия признака Лейбница выполняются, а ряд составленный из абсолютных величин является обобщённо гармоническим расходящимся рядом.

$sum limits _{n=1}^{infty }, (-1)^{n+1}frac{1}{n^{1/4}}\\1); ; Leibniz:; ; a); ; limlimits _{n to infty}, |a_n |=limlimits _{n to infty},frac{1}{n^{1/4}}=0\\b); ; |a_1|>|a_2|>...>|a_{n}|>...\\1>frac{1}{sqrt[4]{2}}>frac{1}{sqrt[4]3}>...>frac{1}{sqrt[4]{n}}>...\\2); ; |a_{n}|=frac{1}{n^{1/4}}; ,; ; alpha =frac{1}{4}<1; ; Rightarrow ; ; ryad; rasxoditsya\\sum limits _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1}frac{1}{n^{1/4}}; ; ; yslovno; sxoditsya$

Answer 2

1. Первое условие признака Лейбница выполняется, т.е. $1>frac{sqrt[4]{2^3}}{2} >frac{sqrt[4]{3^3}}{3}$ каждый последующий член ряда меньше предыдущего

$displaystyle lim_{n to infty} frac{1}{n^{1/4}} =0$

По признаку Лейбница ряд сходится.

Проверим теперь на абсолютность сходимости ряда, взяв ряд по модулю

$displaystyle bigg|sum^{infty} _{n=1}frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/4}} bigg|= sum^{infty}_{n=1}frac{1}{n^{1/4}}$

И этот ряд расходится, следовательно данный ряд сходится условно.