Question

Разложить функцию в ряд Фурье.
f(x)=xcosx, x принадлежит (-п, п).

Answer 1

Функция $f(x)=xcdot cosx$ нечётная, т.к.

$f(-x)=-xcdot cos(-x)=-xcdot cosx==-f(x)$ ,

поэтому коэффициенты ряда Фурье $a_0=0; ,; ; a_{n}=0$ .

Вычислим  $b_{n}$  .

$b_{n}=frac{2}{pi }intlimits^{pi }_0, f(x)cdot sin, nx, dx=frac{2}{pi }intlimits^{pi }_0, xcdot cosxcdot sin, nx, dx=\\=frac{2}{pi }intlimits^{pi }_0, xcdot frac{1}{2}Big (sin(n+1)x+sin(n-1)xBig )dx=\\=frac{1}{pi }intlimits^{pi }_0 xcdot sin(n+1)xcdot dx +frac{1}{pi }intlimits^{pi }_0xcdot sin(n-1)xcdot dx; ;\\\frac{1}{pi }intlimits^{pi }_0xcdot sin(n+1)xcdot dx=[, u=x,; du=dx,; dv=sin(n+1)xcdot dx,\\v=-frac{1}{n+1}cdot cos(n+1)x; ]=$

$=frac{1}{pi }cdot Big (-frac{x}{n+1}cdot cos(n+1)xBig |_0^{pi }-frac{1}{n+1}intlimits^{pi }_0cos(n+1)xcdot dxBig )=\\=frac{1}{pi }cdot Big (-frac{pi }{n+1}cdot cos, pi (n+1)-frac{1}{(n+1)^2}cdot sin(n+1)xBig |_0^{pi }Big )=\\=frac{1}{pi }cdot Big (-frac{pi}{n+1}cdot (-1)^{n+1}-frac{1}{(n+1)^2}cdot underbrace {sin, pi (n+1)}_{0}Big )=\\=-frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=frac{(-1)^{n+2}}{n+1}; ;$

$frac{1}{pi }intlimits^{pi }_0, xcdot sin(n-1)xcdot dx=[u=x,; du=dx,; v=-frac{1}{n-1}cdot cos(n-1)x]=\\=frac{1}{pi }cdot Big (-frac{x}{n-1}cdot cos(n-1)xBig |_0^{pi }+frac{1}{n-1}int limits _0^{pi }cos(n-1)xcdot dxBig )=\\=frac{1}{pi }cdot Big (-frac{pi }{n-1}cdot cos, pi (n-1)+frac{1}{(n-1)^2}cdot sin(n-1)xBig |_0^{pi }Big )=\\=-frac{1}{n-1}cdot (-1)^{n+1}=frac{(-1)^{n+2}}{n-1}; ;\\b_{n}=frac{(-1)^{n+2}}{n+1}+frac{(-1)^{n+2}}{n-1}=(-1)^{n+2}cdot frac{2n}{n^2-1}$

$f(x)sim sum limits _{n=1}^{infty }(-1)^{n+2cdot }frac{2n}{n^2-1}cdot sin, nx\\\star ; ; cos, pi (npm 1)=cos(pi npm pi )=cospi ncdot cospi mp sinpi ncdot sinpi =\\=(-1)^ncdot (-1)mp 0=(-1)^{n+1}$