Question

Соs15 - sin15
——— ——
Sin15 Cos15
Решить (упростить выражение )

Answer 1

$frac{cos15 - sin15}{ sin15cos15 }$
знаменатель можно представить как
$frac{2 sin15 cos15}{2}$
по сути тоже самое, но теперь его можно преобразовать по формуле синуса двойного угла
$frac{ sin30}{2}$
теперь всё выражение примет вид
$frac{2( cos15 - sin15)}{ sin30 }$
так как синус 30 табличное значение не будем трогать его, а нынешний числитель преобразуем
$cos15=cos(90-75)=sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45 = (frac{1}{2} times frac{ sqrt{2} }{2} ) + ( frac{ sqrt{3} }{2} times frac{ sqrt{2} }{2} )$
$frac{ sqrt{2} }{4} + frac{ sqrt{6} }{4} = frac{ sqrt{2} + sqrt{6} }{4}$
$sin15=sin(90-75)=cos75=cos(30+45)=cos30cos45-sin30sin45=( frac{ sqrt{3} }{2} times frac{ sqrt{2} }{2} ) - ( frac{1}{2} times frac{ sqrt{2} }{2} )$
$frac{ sqrt{6} }{4} - frac{ sqrt{2} }{4} = frac{ sqrt{6} - sqrt{2} }{4}$
подставляем полученные выражения к друг другу
$frac{ sqrt{2} + sqrt{6} }{4} - ( frac{ sqrt{6} - sqrt{2} }{4} )$
$frac{ sqrt{2} + sqrt{6} - sqrt{6} + sqrt{2} }{4}$
$frac{2 sqrt{2} }{4}$
$frac{ sqrt{2} }{2}$
возвращаемся к самому началу
$frac{2( frac{ sqrt{2} }{2} )}{ sin30}$
$frac{ sqrt{2} }{ frac{1}{2} }$
ответ :
$2 sqrt{2}$