Question

Вычеслить определённый интеграл, применив указанную подстановку. 5 пример

Answer 1

$sqrt{x} =t Rightarrow x=t^2 Rightarrow dx=2tdt\ x= ln^22 rightarrow t= ln2; x= 1 rightarrow t= 1$

$int limits_{1}^{ln2} 2e^{2t}tdt = int limits_{1}^{ln2} td(e^{2t}) = te^{2t} Bigg |_{1}^{ln2} - int limits_{1}^{ln2} e^{2t}dt = \ = te^{2t} Bigg |_{1}^{ln2} - frac{1}{2} e^{2t} Bigg |_{1}^{ln2} = ( te^{2t} -frac{1}{2} e^{2t} ) Bigg |_{1}^{ln2} = e^{2t}(t-frac{1}{2} )Bigg |_{1}^{ln2} =\ = e^{2ln2}(ln2-frac{1}{2} )-e^{2}(1-frac{1}{2} )=4ln2-2-frac{1}{2}e^{2}$