Question

Найти решение задачи Коши и проверить. Даю 100 баллов

Answer 1

Попробуем угадать вид решения.

Заметим, что система переходит в себя при сдвиге x на π, значит, решение – периодическая по x функция с периодом, кратным π. Мысленно разложим это решение в ряд Фурье по 2x. Разные слагаемые в этом ряду ортогональны; поскольку в системе есть только слагаемые, пропорциональные 1 и cos 2x, то в решении все остальные коэффициенты будут тождественно равны нулю.

Будем искать решение в виде u(x, t) = A(t) + B(t) cos 2x. Подставляем:

$begin{cases} A''+B''cos2x=-16Bcos2x+dfrac12+dfrac12cos2x\ A(0)+B(0)cos2x=dfrac12-dfrac12cos 2x\ A'(0)+B'(0)cos 2x=dfrac12+dfrac12cos2x end{cases}$

$begin{cases} left(A''-dfrac12right)+left(B''+16B-dfrac12right)cos2x=0\ left(A(0)-dfrac12right)+left(B(0)+dfrac12right)cos2x=0\ left(A'(0)-dfrac12right)+left(B'(0)-dfrac12right)cos2x=0 end{cases}$

Приравнивая скобки к нулю, получаем две задачи Коши на коэффициенты A и B.

1) A(t):

$displaystylebegin{cases} A''=dfrac12\ A(0)=dfrac12\ ,A'(0)=dfrac12 end{cases}\ A'(t)=A'(0)+int_0^tA''(t),dt=frac12+frac t2\ A(t)=A(0)+int_0^tA'(t),dt=frac12+frac t2+frac{t^2}4=frac14(t^2+2t+2)$

2) B(t):

$displaystylebegin{cases} B''+16B=dfrac12\ B(0)=-dfrac12\ B'(0)=dfrac12 end{cases}$

Общее решение уравнения B(t) = С cos 4t + D sin 4t + 1/32. Подставив решение в начальные условия, находим, что C = -(1/32 + 1/2) = -17/32; D = 1/2 : 4 = 1/8.

Итак, B(t) выглядит так:

$displaystyle B(t)=-frac{17}{32}cos4t+frac18sin4t+frac1{32}=frac1{32}(4sin4t-17cos4t+1)$

Окончательно

$displaystyleboxed{u(x,t)=frac14(t^2+2t+2)+frac1{32}(4sin4t-17cos4t+1)cos2x}$

Проверка:

$u_{tt}=dfrac14cdot2-dfrac1{32}cdot16(4sin4t-17cos4t)cos2x=dfrac12-dfrac12(4sin4t-\-17cos4t)\ 4u_{xx}=-4cdotdfrac1{32}cdot4(4sin4t-17cos4t+1)cos2x=-dfrac12(4sin4t-\-17cos4t+1)\ u_{tt}-4u_{xx}=dfrac12+dfrac12cos2x=cos^2x$

$u(x,0)=dfrac14(0+0+2)+dfrac1{32}(0-17+1)cos2x=dfrac12-dfrac12cos2x=sin^2x$

$u'(x,0)=dfrac14(0+2+0)+dfrac1{32}(16-0+0)cos2x=dfrac12+dfrac12cos2x=cos^2x$