Question

доказать непрерывность функции y =1/(x-1) в точке x=3

Answer 1

Условие непрерывности по Гейне: $displaystyle lim_{зx to infty} [f(a+зx)-f(a)]=lim_{зx to 0}зy=0$, где а - точка в котором нужно исследовать и $зx,~зy$ - малые приращения

$f(3)=dfrac{1}{3-1} =dfrac{1}{2}$ и $f(3+зx)=dfrac{1}{3+зx-1}=dfrac{1}{2+зx}$

$зy=f(3+зx)-f(3)=dfrac{1}{2+зx} -dfrac{1}{2} =dfrac{2-2-зx}{2(2+зx)} =-dfrac{зx}{2(2+зx)}$

Переходя к пределу

$displaystyle lim_{зx to 0}зy=lim_{зx to 0}bigg(-frac{зx}{2(2+зx)}bigg)=0$

Таким образом , функция f(x)=1/(x-1) является непрерывной в точке х=3.