Question

Найти градиент скалярного поля u(x, y, z) в точке М0(2,1,1).Вычислить производную этого поля в точке М0 по направлению вектора i=-2i+j-k

Answer 1

1) $grad u=frac{partial u}{partial x} vec{i} +frac{partial u}{partial y} vec{j} +frac{partial u}{partial z} vec{k}$

$u=x+ln(y^2+z^2)\ frac{partial u}{partial x} =1; frac{partial u}{partial y} =frac{2y}{y^2+z^2} ; frac{partial u}{partial z} =frac{2z}{y^2+z^2} \ M_o(2;1;1) Rightarrow x=2; y=1; z=1 \ frac{partial u}{partial x} (M_o) =1; frac{partial u}{partial y} (M_o) =frac{2*1}{1^2+1^2}=1; frac{partial u}{partial z} (M_o) =frac{2*1}{1^2+1^2}=1;$

Градиент u в точке (2;1;1): $grad u (M_o)= 1 vec{i} + 1 vec{j} + 1 vec{k} = vec{i} + vec{j} + vec{k}$

2) $|grad u(M_o)| = sqrt{1^2+1^2+1^2} =sqrt{3}$

Для вектора $vec{p}=(-2;1;1)$ $Rightarrow |vec{p}|=sqrt{4+1+1} =sqrt{6}$

Направляющие углы:

$cos alpha =frac{-2}{sqrt{6}} ; cos beta =frac{1}{sqrt{6}} ; cos gamma =frac{-1}{sqrt{6}}$

Производная поля в точке (2;1;1) по направлению вектора р:

$frac{partial u}{partial p} =frac{partial u}{partial x}(M_o) cos alpha +frac{partial u}{partial y}(M_o) cos beta +frac{partial u}{partial z}(M_o) cos gamma =\ = 1 cdot (-frac{2}{sqrt{6}} )+1 cdot frac{1}{sqrt{6}} +1 cdot (-frac{1}{sqrt{6}} )=-frac{2}{sqrt{6}} =-frac{sqrt{6}}{3}$