Question

Помогите, пожалуйста!!! 20 баллов

Answer 1

Как уже было сказано, число нулей, которыми оканчивается десятичная запись n! для числа n, которое удовлетворяет $1leq frac{n}{5^{k}} < 5$ при некотором натуральном k, равняется $[frac{n}{5^{k}}]+[frac{n}{5^{k-1}}]+...+frac{n}{5}$(*); Для числа 26!: $[frac{26}{5^{2}}]+[frac{26}{5}]= 1+5=6$; Значит число 26! оканчивается на 6 нулей. Почему именно такая формула (*)? Если записать произведение 1*2*...*n и взять в пары числа, одно из которых делится на 5, а другое - просто четное число, то получим произведение, оканчивающееся по крайней мере на один 0. Поскольку четных чисел больше, чем чисел, которые делятся на 5, то такие пары всегда можно сформировать. Найдем сколько чисел, которые делятся на 5 среди чисел от 1 до n (в произведении): их число равно $[frac{n}{5}]$; Но ведь и число 25 делится на 5, хотя 25 при умножении с числом, которое делится на 4 (такие пары тоже всегда можно сформировать) дает уже два нуля. Поэтому добавим к числу $[frac{n}{5}]$ число $[frac{n}{25}]$. И так далее по степеням пятерки. В итоге получим формулу (*). Понять это можно проще: выпишем в ряд степени пятерки: 5,25,125,625... Так как каждое из этих чисел делится на 5, то под каждым из них напишем по нулю (по уже рассказанной причине). Далее, для чисел начиная с 25 напишем еще по одному нулю, и так далее. Окажется, что под числом 5ⁿ написано n нулей.