Question

Какова наибольшая возможная площадь у треугольника со сторонами a,b,c если известно, что $a leq 2 leq b leq 3 leq c leq 4$ ?

Answer 1

Пусть угол между сторонами a и b равен φ. Тогда площадь треугольника равна $frac{1}{2}absin varphi$; Пусть произведение ab максимально, то есть равно 6. Сторона c не участвует в формировании величины площади. Однако от c зависит максимальность синуса. По теореме косинусов: $a^{2}+b^{2}-2abcos varphi = c^{2}$; Подставив максимальные значения a и b, а также минимальное значение косинуса ⇔ максимальное значение синуса, придем к тому, что $13=c^{2} Leftrightarrow c=sqrt{13}$, при этом значение c лежит в диапазоне. Итак, максимальная площадь треугольника равна $frac{1}{2}times 2 times 3 times sin 90^{0}=3$