Question

Если что,в ответе просят написать число,а не формулу :)

Answer 1

Можно и без пределов...

Пусть $S = frac{1}{3}+frac{3}{3^{2}}+...+frac{2n-1}{3^{n}}+...$; Заметим, что $S = frac{1}{3}+frac{3}{3^{2}}+...+frac{2n-1}{3^{n}}+...=frac{1}{3}+frac{1}{3^{2}}+...+frac{1}{3^{n}}+...+frac{2}{3^{2}}+frac{4}{3^{3}}+...+frac{2n}{3^{n+1}}+...$; Первая часть - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/3; Ее сумма равна 1/2; Распишем подобным образом и вторую часть суммы: $frac{2}{3^{2}}+frac{4}{3^{3}}+...+frac{2n}{3^{n+1}}+...=frac{1}{3^{2}}+frac{1}{3^{3}}+...+frac{1}{3^{n+1}}+...+frac{1}{3^{2}}+frac{3}{3^{3}}+...+frac{2n-1}{3^{n+1}}+...$; Опять же - первая часть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/3, ее сумма равна 1/6; Вторая часть суммы, как несложно заметить, равна S/3; В итоге получаем: $frac{1}{6}+frac{1}{2}+frac{S}{3}=S Leftrightarrow frac{2}{3}S=frac{2}{3}Leftrightarrow S=1$