Question

Ответьте, пожалуйста, с объяснением и указанием использованных формул. Спасибо.

Answer 1

C1.
$4 times (1 + { sin(x) }^{2} ) times ( 1 + { cos(x) }^{2} ) = 4 times (1 + { sin(x) }^{2} + { cos(x) }^{2} + { sin(x) }^{2} times { cos(x) }^{2}$
По основному тригонометрическому тождеству получаем:
$4 times (1 + 1 + { sin(x) }^{2} times { cos(x) }^{2} )$
Так как
${ sin(x) }^{2} times { cos(x) }^{2} = frac{1}{4} times 4 times { sin(x) }^{2} times { cos(x) }^{2} = frac{1}{4} times( {2 times sin(x) times cos(x) ) }^{2} = frac{1}{4} times { sin(2 times x) }^{2}$
То наше выражение можно упростить и получить:
$4 times (2 + frac{1}{4} times { sin(2 times x) }^{2} )$
Раскрыв скобки, получим:
$8 + { sin(2 times x) }^{2}$
Очевидно, что максимум этой функции равен 9. Также заметим, что минимум правой части равенства равен
$log_{2}(512) = 9$
Отсюда следует, что второе слагаемое под логарифмов равно нулю. Это происходит только если числитель равен нулю. То есть
${ sin(4 times x) }^{2} = 0$
$sin(4 times x) = 0$
$4 times x = pi times n$
где n- целое
$x = frac{pi times n}{4}$
Осталась лишь подстановка, но я считаю, что ты справишься)
C2.Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:
$|x - 2| = a times x + 1$
Ещё раз возведём уравнение в квадрат
${x}^{2} - 4 times x + 4 = {a}^{2} times {x}^{2} + 2 times a times x + 1$
Приведём наше уравнение к квадратному:
${x}^{2} times (1 - {a}^{2} ) + x times ( - 4 - 2 times a) + 3 = 0$
Если a=+-1, то наше уравнение станет линейным и будет иметь всего лишь 1 корень максимум.
Следовательно a не равно 1 или -1, а значит наше уравнение квадратное.
Условием для нескольких корней является дискрминант. Он должен быть больше нуля. То есть:
$({4 + 2 times a})^{2} - 4 times 3 times (1 - {a}^{2} ) > 0$
Раскрываем скобки и упрощаем неравенство. Получаем:
$4 times {a}^{2} + 4 times a + 1 = ( {2 times a + 1})^{2} > 0$
Данное неравенство выполняется при всех а, кроме а=-0.5
Таким образом ответ: a не равно 1, -1 и -0.5.
Если есть вопросы, то не стесняйся задавать. Помогу, чем смогу)