Question

Помогите решить уравнение
cos⁡x-sin⁡x=cos⁡2x

Answer 1

Cosx - Sinx = Cos2x

Cosx - Sinx - (Cos²x - Sin²x) = 0

(Cosx - Sinx) - (Cosx - Sinx)(Cosx + Sinx) = 0

(Cosx - Sinx)(1 - Cosx - Sinx) = 0

1) Cosx - Sinx = 0

Разделим обе части на Cosx ≠ 0, получим :

1 - tgx = 0

tgx = 1

$x = frac{pi}{4}+pi n,$n∈z

2) 1 - Cosx - Sinx = 0

Cosx + Sinx = 1

Разделим обе части на корень из двух, получим :

$frac{1}{sqrt{2}}Cosx+frac{1}{sqrt{2}}Sinx=frac{1}{sqrt{2}}}\\Cosfrac{pi}{4}Cosx+Sinfrac{pi}{4}Sinx=frac{1}{sqrt{2}} \\Cos(x-frac{pi}{4})=frac{1}{sqrt{2}}\\x-frac{pi}{4}=+-arcCosfrac{1}{sqrt{2}} +2pi n\\ x-frac{pi}{4}=+-frac{pi}{4}+2pi n\\x_{1}=frac{pi}{2} +2pi n\\x_{2}=2pi n$