Question

Найди остаток от деления 33^35 на 15

Answer 1

Преобразуем:

$33^{35}=(3 cdot 11)^{35}=3^{35}cdot11^{35}\ dfrac{3^{35}cdot11^{35}}{15}=dfrac{3^{35} cdot 11^{35}}{3 cdot 5}=dfrac{3^{34}cdot11^{35}}{5}$

Чтобы найти остаток от деления, нам нужно узнать, какой цифрой оканчивается произведение $3^{34}cdot 11^{35}$. Очевидно, что число $11^{35}$ оканчивается на 1, так как 1 в любой степени равняется 1. Для числа 3 найдем закономерность:

$3^0=boxed1\ 3^1=boxed3\ 3^2=boxed9\ 3^3=2boxed7\ 3^4=8boxed1\ 3^5=24boxed3\ 3^6=72boxed9\ 3^7=218boxed7\ ...$

и т.д. Значит число $3^{34}$ оканчивается на цифру 9, тогда остаток от деления получаем (9·1)/5 ⇒ ост. 4

Теперь умножим остаток на 3, которую мы сократили при преобразованиях 4·3=12

Ответ: 12