Question

найдите значение выражения

Answer 1

$16 sin(10) sin(30) sin(50) sin(70) sin(90) = 16 sin(10) times frac{1}{2} times sin(50) times sin(70) times 1 = 8 sin(10) sin(50) sin(70)$
По формуле :
$sin(a) times sin(b) = frac{ cos(a - b) - cos(a + b) }{2}$
Получаем :
$8 times frac{ cos( - 40) - cos(60) }{2} times sin(70) = 4( cos(40) - frac{1}{2} ) times sin(70)$
Из-за честности функции -40 можно заменить на 40
$4 cos(40) sin(70) - 2 sin(70)$
По формуле :
$cos(a) sin(b) = frac{ sin(a + b) + sin(b - a) }{2}$
Получаем :
$2 times ( sin(110) + sin(30)) - 2 sin(70) = 2( sin(110) + frac{1}{2} ) - 2 sin(70) = 2 sin(110) + 1 - 2 sin(70)$
$2 (sin(110) - sin(70) ) + 1$
По формуле:
$sin(a) - sin(b) = 2 cos( frac{a + b}{2} ) sin( frac{a - b}{2} )$
Получаем:
$2 times 2 cos(90) sin(2 0 ) + 1 = 2 times 2 times 0 times sin(20) + 1 = 0 + 1 = 1$

Answer 2

16sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 90= 16 (1/2) cos 80 cos 40 cos 20=

$8frac{sin 20cdot cos 20cdot cos 40cdot cos 80}{sin 20}= 4frac{sin 40cdot cos 40cdot cos 80}{sin 20}= 2frac{sin 80cdot cos 80}{sin 20}=frac{sin 160}{sin 20}=$

$=frac{sin 20^{circ}}{sin 20^{circ}}=1$

В процессе решения мы воспользовались знанием sin 30=1/2; sin 90=1; формулами приведения и формулы синуса двойного угла