Question

log1/3 (2x-1/x+2)> 1

Answer 1

$log_{frac{1}{3}}(dfrac{2x-1}{x+2}) > 1 \ \ ODZ: left{ begin{gathered} dfrac{2x-1}{x+2}>0 \ x + 2ne 0 \ end{gathered} right. ; left{ begin{gathered} dfrac{2(x-dfrac{1}{2})}{x+2} > 0 \ x ne - 2 \ end{gathered} right. ; x in (-infty ; -2)cup (dfrac{1}{2}; +infty)$

$log_{frac{1}{3}}(dfrac{2x-1}{x+2}) >log_{frac{1}{3}}(dfrac{1}{3})^{1} \ \ dfrac{2x-1}{x+2} < dfrac{1}{3} \ \ dfrac{2x-1}{x+2} - dfrac{1}{3}< 0 \ \ dfrac{3(2x-1) - 1(x+2)}{3(x+2)} < 0 \ \ dfrac{5x-5}{3(x+2)} < 0 \ \ dfrac{5(x-1)}{3(x+2)} < 0 / * dfrac{3}{5} \ \ x in (-2;1)$

С учётом ОДЗ (1):

$x in (dfrac{1}{2} ; 1)$

Ответ: x ∈ (1/2 ; 1)

Примечание: если основание логарифма относится к промежутку от 0 до 1, то знак неравенства меняется в противоположную сторону.