Question

(60)решите уравнение........

Answer 1

$x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1=0\\((x-4)x+1)((x-1)x+1)=0 \\(x^{2} -4x+1)(x^{2} -x+1)=0\\1)x^{2} -4x+1=0\\D=(-4)^{2} -4*1*1=12=(2sqrt{3})^{2}\\x_{1}=frac{4+2sqrt{3}}{2} =2+sqrt{3}\\x_{2}=frac{4-2sqrt{3}}{2}=2-sqrt{3}$

$2)x^{2} -x+1=0\\D=(-1)^{2} -4*1*1=-3\\D<0$

решений нет

$x_{1}*x_{2}=(2+sqrt{3})(2-sqrt{3})=2^{2} -(sqrt{3})^{2}=4-3=1$

Answer 2

по какому правилу было произведено разложение на множители во второй строке?

Answer 3

Для уравнений вида

$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$

есть следующий метод решения:

$x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$

Разделим все уравнение на x². Для этого сначала убедимся, что x=0 не является корнем уравнения.

$0^4-5cdot0^3+6cdot0^2-5cdot0+1=1neq 0$

Получим уравнение

$x^2-5x+6-dfrac{5}{x}+dfrac{1}{x^2}=0\ x^2+dfrac{1}{x}-5(x+dfrac{1}{x})+6=0$

Так как

$(x+dfrac{1}{x})^2=x^2+dfrac{1}{x^2}+2$

то можно произвести замену

$x+dfrac{1}{x}=t; x^2+dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

Получим уравнение

$t^2-2-5t+6=0\ t^2-5t+4=0\ D=25-16=9=3^2\ t_1=dfrac{5-3}{2}=1\ t_2=dfrac{5+3}{2}=4$

Производим обратную замену

$1)\ x+dfrac{1}{x}=1\ x^2-x+1=0\ D=1-4<0\ \ 2)\ x+dfrac{1}{x}=4\ x^2-4x+1=0\ frac{D}{4}=4-1=3\ x=2 pm sqrt{3}$

$(2- sqrt{3})(2+ sqrt{3})=4-3=1$

Ответ: 1