Question

tg2x = 9sin^2x +4sinxcosx -3cos^2x

решите уравнение

Answer 1

По формуле понижения степени и синусу двойного угла:

$tg2x=9cdotdfrac{1-cos 2x}{2} +2sin 2x-3cdotdfrac{1+cos 2x}{2} \ \ tg2x=dfrac{9-9cos 2x-3-3cos 2x}{2}+2sin 2x\ \ tg2x=3-6cos 2x+2sin 2x$

Умножим левую и правую части уравнения на $cos 2xne 0$, получим:

$sin 2x=3cos 2x-6cos^22x+2sin 2xcos 2x\ sin 2x-3cos 2x+6cos^22x-2sin 2xcos 2x=0\ (sin 2x-3cos 2x)-2cos 2x(sin 2x-3cos 2x)=0\ (sin 2x-3cos 2x)(1-2cos 2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль.

$sin 2x-3cos 2x=0~|:cos 2xne0\ tg2x-3=0\ 2x=arctg3+pi n,n in mathbb{Z}\ x=0.5actg3+0.5pi n,n in mathbb{Z}$

$1-2cos 2x=0\ cos 2x=0.5\ 2x=pmfrac{pi}{3}+2pi n,n in mathbb{Z}\ x=pmfrac{pi}{6}+pi n,n in mathbb{Z}$