Найти все значения m из условия, что корни уравнения:
x^3-30x^2+mx-780=0
являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
Ответы
Пусть корни уравнения a, b и c, тогда левая часть уравнения должна представляться в виде (x - a)(x - b)(x - c) = x^3 - (a + b + c) x^2 + (ab + ac + bc) x - abc. Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему из трех уравнений:
a + b + c = 30
ab + ac + bc = m
abc = 780
Без ограничения общности можно считать, что a ≤ b ≤ c. Чтобы это три числа были длинами сторон прямоугольного треугольника, они должны быть положительными, и по теореме Пифагора c^2 = a^2 + b^2.
Немного перепишем первое уравнение и возведём его в квадрат:
a + b = 30 - c
(a + b)^2 = (30 - c)^2
a^2 + b^2 + 2ab = 900 - 60c + c^2
(a^2 + b^2 - c^2) + 2ab = 900 - 60c – выражение в скобках равно нулю
2ab = 900 - 60c
ab = 450 - 30c = 30(15 - с)
Подставляем в третье уравнение:
30(15 - с)с = 780
(15 - с)с = 26
с^2 - 15c + 26 = 0
Корни угадываем по теореме Виета, c = 2 или 13.
1) Если c = 2, то a + b = 30 - 2 = 28; ab = 30 * (15 - 2) = 390. По теореме Виета a, b – корни уравнения t^2 - 28t + 390 = 0, но у этого уравнения дискриминант отрицательный: D/4 = 196 - 390 < 0, – и поэтому нет корней.
2) Если c = 13, то a + b = 30 - 13 = 17; ab = 30 * (15 - 13) = 60. Аналогично, a, b – корни уравнения t^2 - 17t + 60 = 0. У этого уравнения D > 0, так что корни существуют.
m = ab + c(a + b) = 60 + 13 * 17 = 281.
Ответ. m = 281