Question

Доказать. На школьном уровне

Answer 1

Если f(x) и g(x) - обратные, то $f(g(x))=x$. Тогда имеем следующее следствие: $(f(g(x)))'=1\ f'(g(x))cdot g'(x)=1$

Положим $g(x)=arctgx$. Имеем

$(mathrm{tg(mathrm{arctgx})})'cdot (mathrm{arctgx})'=1\ \ dfrac{1}{cos^2(mathrm{arctgx})} cdot (mathrm{arctgx})'=1\ \ (mathrm{arctgx})'=cos^2(mathrm{arctgx})\ \ (mathrm{arctgx})'=bigg(dfrac{1}{sqrt{x^2+1}}bigg)^2\ \ (mathrm{arctgx})'=dfrac{1}{x^2+1}$

Answer 2

$y = arctg(x)\ tg(y)=x\ tg(arctg(x)) = x\ (tg(arctg(x)))' = (x)'\ tg(y)'=(x)'\ frac{y'}{cos^2y}=1\ y'=cos^2y=frac{1}{frac{1}{cos^2y}}=frac{1}{frac{cos^2y+sin^2y}{cos^2y}}=frac{1}{1+frac{sin^2y}{cos^2y}}=frac{1}{1+tg^2y}=frac{1}{1+x^2}$