Question

Найти наименьшее целое положительное решение неравенства
$16^{1-x+2x^{2}}+9^{2x^{2}+1-x}geq frac{25}{12^{x-2x^{2}}}$

Помогите пожалуйста, заранее спасибо.

Answer 1

$4^{2-2x+4x^2}+3^{2-2x+4x^2}geq 25*(4*3)^{2x^2-x}\ Pi ycmb t=2x^2-x \ 4^{2t+2}+3^{2t+2}geq 25*(4*3)^{t} Big | : 3^{2t+2}neq 0\ (frac{4}{3})^{2t+2} +1geq frac{25}{9}*(frac{4}{3})^{t}$

$frac{16}{9}*(frac{4}{3})^{2t} -frac{25}{9}*(frac{4}{3})^{t}+1geq 0\ Pi ycmb (frac{4}{3})^{t} = y\ frac{16}{9}y^{2} -frac{25}{9}y+1geq 0\ 16y^2-25y+9geq 0\ (16y-9)(y-1) geq 0$

$yleq frac{9}{16}$ или у ≥ 1

$(frac{4}{3})^tleq frac{9}{16}$ или $(frac{4}{3})^t geq 1$

t ≤ -2        или         t ≥ 0

2x²-x≤-2   или        2x²-x≥0

2x²-x+2≤0  или       2х(х-0,5)≥0

D<0                             ⇓ 

⇓                                 х∈(-∞; 0]∪[0,5; +∞)

решений нет

Наименьшее положительное целое - число 1

Ответ: 1

Answer 2

2x² - x ≥ 0 неправильно решили. Исправьте!

Answer 3

точно, ок

Answer 4

модераторы, пожалуйста, картинку-вложение удалите сами. спасибо.

Answer 5

$16^{1-x+2x^{2}}+9^{2x^{2}+1-x}geq frac{25}{12^{x-2x^{2}}}$
Домножим обе части неравенства на положительное выражение
${12}^{x - 2 {x}^{2} }$

${12}^{x - 2 {x}^{2} } times {16}^{2 {x}^{2} - x + 1} + {12}^{x - 2 {x}^{2} } times {9}^{2 {x}^{2} - x + 1} - 25 geqslant 0$
После всех преобразований : 12 = 4 × 3 =>

$16 times {( frac{4}{3}) }^{2 {x}^{2} - x} + 9 times {( frac{3}{4} )}^{2 {x}^{2} - x } - 25 geqslant 0$

Сделаем замену :
$t = {( frac{4}{3}) }^{2 {x}^{2} - x } \ \ t > 0$

$16t + frac{9}{t} - 25 geqslant 0 \ \ 16 {t}^{2} - 25t + 9 geqslant 0 \ \ (t - 1)(t - frac{9}{16} ) geqslant 0$

Решим методом интервалов:

+++++++°( 0 )+++++•[ 9/16 ]-----------•[ 1 ]++++++> t

$t geqslant 1 \ t leqslant frac{9}{16}$

$1) t geqslant 1 \ \ {( frac{4}{3} )}^{2 {x }^{2} - x} geqslant {( frac{4}{3} )}^{0} \ \ 2 {x}^{2} - x geqslant 0 \ \ x times (2x - 1) geqslant 0$

+++++•[ 0 ]----------•[ 1/2 ]++++++++> x
__________________
$x leqslant 0 \ x geqslant frac{1}{2}$
__________________
$2) : { (frac{4}{3} )}^{2 {x}^{2} - x} leqslant frac{9}{16} \ \ : { (frac{4}{3} )}^{2 {x}^{2} - x} leqslant : {( frac{4}{3} )}^{ - 2} \ \ 2 {x}^{2} - x + 2 leqslant 0$

Выражение 2х² - х + 2 всегда больше нуля

Значит, решений нет

При х ≤ 0 идут отрицательные числа, а нужны только положительные

При х ≥ 1/2

Наименьшее целое положительное решение данного неравенства является число 1

Ответ: 1

Answer 6

Ответ 1, просто ответ уже известен, а вот решается как, непонятно