Question

Мат. статистика. Задача(диагностика начальной формы туберкулёза)

Answer 1

1. Выбор нулевой гипотезы $H_0$

$H_1$ - пациент здоров

$H_2$ - пациент страдает

Последствия ошибки при отклонении гипотезы $H_2$ - пациент болен - серьезно, поэтому:

$H_0$ - пациент болен

$H_1$ - пациент здоров

2. Определение случайной величины и распределения. $xi$ - число положительных рентгеновских анализов из 2-х сделанных.

$xi=0,1,2$

$H_0$ - справедлива: $xisim P_0(k)=C^k_2p_0^k(1-p_0)^{2-k},~~~~~~k=0,1,2$

$H_1$ - справедлива: $xi sim P_1(k)=C^k_2p_1^k(1-p_1)^{2-k}$

$boxed{k~~~~~,}boxed{0~~~~}boxed{1~~~,}boxed{2~~~~}~~~~~~~~~~~~boxed{k~~~~~,}boxed{0~~~~~~~}boxed{1~~~~~~~}boxed{2~~~~~~~}\ boxed{P_0(k)}boxed{0.01}boxed{0.18}boxed{0.81}~~~~~~~~~~~~boxed{P_1(k)}boxed{0.9025}boxed{0.0950}boxed{0.0025}$

3. Выбор критерия

$S:$ $xi(w)in S$, то $H_0$ отклоняем; $xi(w)notin S$, то $H_0$ не отклоняем

$S={x:xleq l}$

4. Выбор уровня значимости.

Уровень значимости $alpha$ - число, что ограничивает сверху вероятность ошибки первого рода. Пусть $alpha =0,01$ Тогда

$P_0(S)=P{S|H_0}=P{xileq l|H_0}=displaystyle sum^l_{k=0}C_2^kp_0^k(1-p_0)^{2-k}leq 0.01$

То есть $S={x:xleq 0}$

5. Вероятность ошибки первого и второго рода:

$P{S|H_0}=P{xileq 0|H_0}=0.01$ - вероятность ошибки первого рода(верную гипотезу отклоняем)

$P{overline{S}|H_1}=1-P{S|H_1}=1-0.9025=0.0975$ - вероятность ошибки второго рода(неверную гипотенуз не отклоняем)

6. Мощность критерия.

Мощность критерия равна вероятности отклонения $H_0$, когда$H_0$ неверная

$beta(1)=P{S|H_1}=P{xileq 0|H_1}=0.9025$

Исследуем теперь как изменится функция мощности критерия от изменения уровня значимости:

$alpha=0.01~~~~ ~~~~S={x:x=0}~~~ beta(1)=P{S|H_1}=0.9025\alpha=0.1~~~~ ~~~~S={x:x=0}~~~ beta(1)=P{S|H_1}=0.9025\alpha=0.2~~~~ ~~~~S={x:xleq1}~~~ beta(1)=P{S|H_1}=P_1(0)+P_1(1)=0.9975$

При увеличении уровня значимости увеличивается вероятность отклонения гипотезы, если она неверная. При этом увеличивается вероятность ошибки I рода.