Question

Решить двойной интеграл...

Answer 1

Раз область $G$ - единичный круг с центром в начале координат, то данный интеграл будем вычислять в полярных координатах.

Заменяя: $displaystyle left { {{x=rhocos varphi} atop {y=rhosin varphi}} right.$ и дифференцируя $dxdy=rho drho dvarphi$

$x^2+y^2=1\ (rho cos varphi)^2+(rho sin varphi)^2=rho^2(cos^2varphi+sin^2varphi)=1\ rho^2=1$

Из определения $rho geq 0$,т.е. получим что $0leqrholeq 1$ и угол изменяется в пределах $0leq varphileq 2pi$

Подставим в подынтегральное выражение в полярной системе координат

$sqrt{x^2+y^2} =sqrt{rho^2} =rho$

Осталось подставить все данные в двойной интеграл и перейти к повторному интегралу, то есть

$displaystyle intint _G=sqrt{x^2+y^2}dxdy=intint _{G_0}rho^2drho dvarphi=intlimits^{2pi}_0 {} , dvarphiintlimits^1_0{rho^2} , drho=\ \ =2pi intlimits^1_0 {rho^2} , drho=2pi cdotfrac{rho^3}{3} bigg|^1_0=frac{2pi}{3}$